Saddle point近似

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Reiko replied to Knapp's book on semisimple groups

3 Smooth Vectors and the Universal Enveloping Algebra 定理: 对于李群G和实李代数glie，有U(glie^{C})和G上左不变微分算子D(G)的自然同构。讨论紧李群的有限维表示时直接求（李）导数就可以给出对应李代数的表示。对于无穷维表示首先就遇到无界算子定义域的问题，例如考虑幺正表示的时候，回忆Stone定理，单参数幺正子群e^{t A}和反自伴算子A一一对应，考虑A的多项式时需要进一步缩小定义域。为此对于表示H定义光滑矢量vinH要满足， [gto r(g)v] 对于gin G是光滑的。光滑矢量空间记为C^{infty}(r)。由此可定义r诱导的U(glie^{C})的表示， [r(X)v=lim_{tto 0}frac{r(e^{t X})v-v}{t}] 为了看到C^{infty}(r)在H中是稠密的，我们可以考虑Garding子空间，定义为r(f)v张成的空间。

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一般框架下面开始讨论在Hilbert空间上的表示r:Gto U(H)，连续性要求为Gtimes Hto H连续，这里没记错的话和强连续以及弱连续等价。算子模连续过强不会得到有趣的东西。强弱连续在物理上的含义就是我们只需要观测量的连续性。 Schur引理：不可约性等价于自等变算子必定是常数算子。这件事情对比较一般的拓扑群成立，是有界算子spec定理直接推论。Etingof的讲义中讨论过别的无穷维版本的Schur引理。选取左不变Haar测度dd x，可以自然构造左正则表示L， [g(f(x))=f(g^{-1}x)] 其中fin H=L^2(G,dd x) 考虑正则表示的动机之一是沿袭有限群和紧群表示论的思路，另一个动机可以考虑如下的图像。几何空间的对称性，例如G作用到M上， [r:Gto Diff(M)] 函子乘法自然诱导G在M相关的对象（子结构，丛等等）上的作用，一般的如果有函子F，那么， [GtoDiff(M)to Aut(F(M))] 我们可以考虑相应的例如拓扑问题，G不变微分方程问题，M上带有对称性的函数（例如自同构形式，好像其他人翻译成自守形式）问题等等。一般的几何作用比较复杂，最简单的是考虑G在L^2(M)上的作用，线性化 G表示为幺正有界算子对角化分解该表示为不可约子表示(cf. Double centralizer thm) 分类分类所有幺正irrep 回到表示问题，我们经常需要smeared算子，或者说算子值分布。对于表示r，以及fin L^1(G)，定义， [r(f)v=int_G dd{x}f(x)r(x)v] 以f为权重对r(x)做平均。换句话说诱导群代数L^1(G)的表示。讨论：对于正则表示，L^1cap L^2态和算子一一对应，和算子态对应的关系是什么。在第三章讨论对群表示求导得到代数表示中的微妙。第五节回顾紧群理论，例如Peter-Weyl定理。两个无穷维表示的拓扑张量积问题，nuclear空间。

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2 Reps of Small Groups 我们用物理约定，和Knapp的符号差一点，

%%[begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}]%% begin{align} z'&=r(z)=frac{az+b}{cz+d}z&=-frac{dz-b}{cz-a} pdv{z'}{z}&=(cz+d)^{-2} D&=h+hbar=1+is D^S &=2-D=1-is J&=|h-hbar|infrac{1}{2}Z J^S&=-J hat{f}(p)&=int f(x) e^{-ipx} end{align} S for shadow, D for dimension and J for spin. Unitary Irreps of SL(2,C) （幺正）主列表示r_{D,J}作用在H=L^2(C)上，

begin{align} rbegin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}f(z,zbar)&=(pdv{z'}{z})^h (pdv{zbar'}{zbar})^{hbar}f(z',zbar') &=(cz+d)^{-2h}(bar{c}zbar+bar{d})^{-2hbar}f(z',zbar') &=|cz+d|^{-2-2is}arg^{2J}(cz+d)f(z',zbar') end{align} J的取值保证单值性，遵循物理中primary算子的变换关系，但需要把量纲延拓到主列上。在单位元附近的连续性可用控制收敛定理看出。这里也可以用共形紧化提升到线性作用。对于SO(3,1)cong PSL(2,C)=SL(2,C)backslash set{pm 1}，单值性限制自旋为整数。主列表示的幺正性：定义内积为， [(f,g)=int f g^{*}] D的实部贡献和Jacobian相消，因此是不变内积。讨论：补充列表示的内积需要另行定义。SL(2,C)没有离散列；物理中Hilbert空间的幺正性（以及给出的幺正下界）对应Lorentzian共形群的幺正性，或者说原点表示和无穷远表示配对的正定性，在这种意义下主列是非幺正的（出现在celestial CFT中）。主列表示的不可约性：由平移，旋转和伸缩生成的上三角子群已经可以说明不可约性（这点来自于诱导表示）。下面计算和上三角子群交换的算子A必须为常数算子。和平移交换(Af)(z+a)=A(f(z+a))在Fourier空间为， [hat{Af}] 略去 Unitary Irreps of SL(2,R) 限定在z=zbar上。离散列