阿里巴巴数学竞赛选错赛道了

鬼使神差副赛道选了概率与组合……明明应该选分析的，看到题目就后悔了

看来是有种无形的力量想让我学概率。

第一题目测跟停时有关，可惜我不会…… $\def\R{\mathbb{R}}$

Suppose $B_t$ is a bidirectional Brownian motion, i.e. $(B_t)_{t\ge 0}$ and $(B_{-t})_{t\ge 0}$ are two independent 1-dimensional standard Brownian motion and $B_0 = 0$. For $t \in \R$, write $X_t = B_t - |t|$. Denote $\tau$ the (almost always) unique time s.t. $X_{\tau} = \max_{t\in \R} X_t$.

Prove that $(X_{\tau + t})_{t \ge 0}$ and $(X_{\tau - t})_{t \ge 0}$ are of the same distribution.

Colliot6/18/2023, 4:03:05 PM

感觉跟 Brownian motion 或者说 Wiener process 的 reflection principle 有关？

hugify6/18/2023, 8:48:35 PM

感觉跟 Brownian motion 或者说 Wiener process 的 reflection principle 有关？

by hugify

弱反射原理

$\mathbb{P}\{M_t \ge a\} = 2\mathbb{P}\{B_t \ge a\}$，其中 $M_t = \sup_{s\in[0,t]}B_s$ 是布朗运动 $B_t$ 在 $[0,t]$ 内达到的最大值。

它可以写作$\mathbb{P}\{B_t \ge a\}=\dfrac{1}{2}\mathbb{P}\{M_t \ge a\}$，这个在直观上很容易理解，因为 $B_t \ge a$ 必然有 $M_t \ge a$，而 $M_t$ 第一次到达 $a$ 之后，后续任何点大于或小于 $a$ 的概率都是 $1/2$。