$\newcommand{\D}[0]{\mathrm{D}}$ $\newcommand{\U}[0]{\mathrm{U}}$

举一个非常简单的例子，抛硬币，正面就加一分，反面减一分。记 $S_t$ 为第 $t$ 次抛硬币之后累积的总分，那么 $\{S_t\}$ 就是一个关于 $t$ 的随机过程。

假如我们一共抛三次。

那么它的样本空间是怎样的呢？其实样本空间并不是唯一的，但我们可以取一个非常符合直觉的样本空间——一共 3 次，每次的可能性有 $U, D$ 两种，整体的可能性是 3 个 $U, D$ 组成的序列。由乘法原理，一共有 $2^3=8$ 个这样的序列，即样本空间的大小是 8。我们可以把样本空间写出来：$\Omega = \{\U\U\U, \U\U\D, \U\D\U, \U\D\D, \D\U\U, \D\U\D, \D\D\U, \D\D\D\}$

这个随机过程长啥样呢？按照定义，在每个确定的 $t$ 处，$S_t$ 都是一个随机变量，即一个「样本空间到实数的函数」$S_t: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$，也就是上述的「八元素集合」到实数的函数。实际上我们可以精确把握每个 $S_t$：

1. $S_0 \equiv 0$，这是因为抛 0 次硬币，总是得 0 分（初始状态）
2. 对于 $x \in \{\U\U\U, \U\U\D, \U\D\U, \U\D\D \}$ 有 $S_1(x)=1$，对于 $x \in \{\D\U\U, \D\U\D, \D\D\U, \D\D\D \}$ 有 $S_1(x)=-1$，即 $S_1$ 在 $\U$ 打头的样本处取 $1$，在 $\D$ 打头的样本处取 $-1$。这是因为样本点的第一个字母，代表了第一次抛硬币的结果，而 $S_1$ 仅仅与第一次抛硬币的结果有关
3. 对于 $x \in \{\U\U\U, \U\U\D \}$ 有 $S_2(x)=2$，对于 $x \in \{\U\D\U, \U\D\D, \D\U\U, \D\U\D \}$ 有 $S_2(x)=0$，对于 $x \in \{\D\D\U, \D\D\D \}$ 有 $S_2(x)=-2$。这同样是根据定义算出来的，$S_2$ 就是前两次结果两个向上则为 $2$，一上一下则为 $1-1=0$，两个向下则为 $-2$。
4. 同理，对于 $x \in \{ \U\U\U \}$ 有 $S_3(x)=3$，对于 $x \in \{ \U\U\D, \U\D\U, \D\U\U \}$ 有 $S_3(x)=1$，对于 $x \in \{ \U\D\D, \D\U\D, \D\D\U \}$ 有 $S_3(x)=-1$，对于 $x \in \{ \D\D\D \}$ 有 $S_3(x)=-3$。

在以上过程中我们其实已经自然得到了关于随机过程 $ \{ S_t \} $ 的自然过滤 (natural filtration) 了。

再举一个衍生的例子，继续上面说的，我们再来搞一个看起来怪异的单次分数。记 $x_i$ 为第 $i$ 次抛硬币得的分，那么 $\{x_i\}$ 是否也是一个关于 $i$ 的随机过程呢？

当然是。

那么如果我们抛无限次呢？