我们掷一个骰子，此时样本空间为$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, 那么所有可能的发生事件为$\mathcal{F}=2^\Omega$ (即$\Omega$中所有可能的子集), 如果我们定义一个随机变量$X: \Omega\rightarrow \mathbb{R}$为: 当掷出点数为奇数时取1, 偶数为0. 那我们可以得到随机变量的以下几种可能:

1. {0}, 此时原像为$\{2,4,6\}$, 即如果随机变量结果为0, 所有可能发生的事件的集合,
2. {1}, 此时原像为$\{1,3,5\}$,
3. {0,1}, 此时原像为$\{1,2,3,4,5,6\}$, 既如果随机变量结果为0或1, 所有可能发生的事件集合恰好是整个样本空间,

而$X$生成的$\sigma$-代数就是像空间上所有开集的原像生成的最小$\sigma$-代数, 即为$\{\emptyset, \{1,3,5\},\{2,4,6\},\{1,2,3,4,5,6\}\}$.