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Neural Networks and QFT

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Reiko1/21/2021, 3:51:19 PM

这里试图理解Halverson关于神经网络和QFT的联系的工作，他昨天在这里给了一个报告，视频还未上传，之前在别处的报告已经上传到了ytb。

以下行文风格不正规，涉及不成熟的个人观点，涉及意义不明确的比喻。

比喻

首先我们需要区分以下关于对象/事物的概念，

  • 抽象或者具体的对象，不依赖于人类
  • 特定人类群体对于该对象的认识
  • “我”对于该对象的认识，即具体的神经细胞之间的连接和上面传导的相应的信号

在第三个意义下，假设可以对不同的对象进行PCA，两个对象之间可以进行比喻在这里定义为两者的某些特征向量有显著的overlapping，换句话说，两者分享了一些相似的特征。

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Reiko1/21/2021, 3:55:19 PM

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Reiko1/21/2021, 3:58:52 PM

QFT的一般意味

让我们暂时忘记物理意义下的QFT所讨论的性质，例如

  • locality,
  • unitarity, positivity and causality,
  • base manifold vs. target manifold,
  • lattice vs. continuum,
  • global symmetry and gauge structure, 等等。

一个QFT是描述某类激发之间的相互关系的理论。QFT的无穷小形变是相互关系的无穷小形变。QFT之间的（精确）对偶是“大”的形变，以至于可以用不同的变量（标签）标记相同的激发，它蕴含了(moduli) space of QFTs的整体结构的信息。

激发所构成的空间称为state space，隶属于运动学；相互关系为动力学。激发可以是粒子，也可以是其它local operators, defects and other nonlocal objects, fractons, etc. 相互关系可以是相互作用项，散射振幅，OPE代数，等等。

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Reiko1/21/2021, 4:06:02 PM

Path integral as formal measure

另一方面，很多情况下上述意义的QFT有path integral的描述。roughly, path integral是通常意义的（积分）测度的推广，由于被积的空间一般具有更丰富的结构，例如mapping space，这个测度携带了base manifold 信息。

通常我们说，无穷维的函数空间上不存在(Lebesgue)意义下的平移不变测度。在axiomatic QFT中，目前只在低维具体证明了一些non-Gaussian measure/非自由场论的存在性。而最近几年，$4d\,\phi^4$理论被证明连续极限只能是自由场论，换句话说，$\phi^4$微扰场论只能作为EFT存在。

为什么收敛性通常（不）是一个问题

  1. 因为遇到的收敛性问题一般最终归约到了到$\mathbb{R}$的赋值，而之所以需要在$\mathbb{R}$上赋值，是因为现实世界在我们了解的尺度内很好的被$\mathbb{R}$上的数学/物理所描述。而EFT中的微扰计算，一般来说只关心到$\mathbb{R}[[h]]$的赋值，即计算结果是$h$的形式幂级数。

  2. 另一个例子是关于Grassmann数的Berezin积分，目前为止这种积分还未能被理解成通常意义的测度，我们实际需要的是它bookkeeping了超空间的信息，以及$\int d\th \th $读出一个实数。尽管任意一个supermanifold都(non-canonically)同胚于一个exterior bundle。

  3. 最后一个例子是在进行正规化的时候，我们一般在tempered distribution空间上进行计算，这上面的积分也已经失去了测度的直观意义。最简单的例子是$\frac{1}{x^2}$作为分布满足，

    \[\int_{\mathbb{R}}dx\,\frac{1}{x^2}=0\]

    我们实际需要的是分布在Fourier变换下的良好行为。

某种角度下，收敛性不是一个问题和Laziness以及计算中的结构相关。

我们用mathematica的例子来进行简单说明，一个函数是一个(tree) graph，下面的图片来自《Mathematica 编程：高级导论》，表达了函数$z \sin(x+y)$的粗粒化的结构，

在进行表达式的符号计算时，程序会应用$\sin$满足的等式，在进行数值计算时，程序会应用数值计算的算法，而这些细节被封装到了相应的包中。在这种意义上，图片中的$\sin$是一种局部粗粒化的表达方式。

抽象$\approx$粗粒化$\approx$Quotient$\approx$封装$\approx \cdots$

在符号计算的时候，如果我们只应用了$\sin$的全部规则中的一个子集$P$，如果将$\sin$替换成满足$P$的其它任意的不等于$\sin$的函数$\text{nonsin}$，那么这段形式推导依然是符合逻辑的。差别只在进行具体的赋值时体现。其它更熟知的例子可见p-adic $\Gamma$函数，q-deformed quantities。

让我们总结一下，收敛性问题一般归约到$\mathbb{R}$上的（线性）空间的拓扑，但很多计算中出现的结构不涉及收敛性作为抽象的对象独立存在，尽管它们和我们所知的尺度内的现实空间没有联系。

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Reiko1/21/2021, 6:00:16 PM

Gaussian分布/平均场论/GFT

实际上这一节和Halverson的报告有关，前面的都是引言。 不同的领域中可能会用不同的词语标记下面的概念，

2-pt function/2-moment/Propagator/Green function/Kernel function/...

一个generalized free theory(GFT)被2-pt函数$G(x,x^\prime)$所完全刻画，其它关联函数是2-pt函数的Wick contraction。

未完待续。

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Reiko1/21/2021, 6:03:16 PM

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Reiko 回复了 文章名字至少要十个字

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Colliot 回复了 Shadow formalism

噗 deleted 是什么操作

Reiko 回复了 Saddle point近似

如何估计积分 A(a)int_{(0,1)}f(x)x^a] atoinfty的行为。 把f(x)看成测试函数，x^a当atoinfty的时候只在1点不为0，因此可以用A(a)将其归一化为delta function，只要f(x)充分光滑，这个积分结果就是sim f(1) 如何估计 A(a)int K(a,x) f(x)] ato infty的行为。延续上面的思路，找K(a,x)关于x的极大值即可。 这个出现在弦散射振幅取a'to0极限，以及一些散射振幅计算中。

Reiko 回复了 Knapp's book on semisimple groups

3 Smooth Vectors and the Universal Enveloping Algebra 定理: 对于李群G和实李代数glie，有U(glie^{C})和G上左不变微分算子D(G)的自然同构。 讨论紧李群的有限维表示时直接求（李）导数就可以给出对应李代数的表示。对于无穷维表示首先就遇到无界算子定义域的问题，例如考虑幺正表示的时候，回忆Stone定理，单参数幺正子群e^{t A}和反自伴算子A一一对应，考虑A的多项式时需要进一步缩小定义域。为此对于表示H定义光滑矢量vinH要满足， [gto r(g)v] 对于gin G是光滑的。光滑矢量空间记为C^{infty}(r)。 由此可定义r诱导的U(glie^{C})的表示， [r(X)v=lim_{tto 0}frac{r(e^{t X})v-v}{t}] 为了看到C^{infty}(r)在H中是稠密的，我们可以考虑Garding子空间，定义为r(f)v张成的空间。

Reiko 回复了 Knapp's book on semisimple groups

一般框架 下面开始讨论在Hilbert空间上的表示r:Gto U(H)，连续性要求为Gtimes Hto H连续，这里没记错的话和强连续以及弱连续等价。算子模连续过强不会得到有趣的东西。强弱连续在物理上的含义就是我们只需要观测量的连续性。 Schur引理：不可约性等价于自等变算子必定是常数算子。这件事情对比较一般的拓扑群成立，是有界算子spec定理直接推论。Etingof的讲义中讨论过别的无穷维版本的Schur引理。 选取左不变Haar测度dd x，可以自然构造左正则表示L， [g(f(x))=f(g^{-1}x)] 其中fin H=L^2(G,dd x) 考虑正则表示的动机之一是沿袭有限群和紧群表示论的思路，另一个动机可以考虑如下的图像。 几何空间的对称性，例如G作用到M上， [r:Gto Diff(M)] 函子乘法自然诱导G在M相关的对象（子结构，丛等等）上的作用，一般的如果有函子F，那么， [GtoDiff(M)to Aut(F(M))] 我们可以考虑相应的例如拓扑问题，G不变微分方程问题，M上带有对称性的函数（例如自同构形式，好像其他人翻译成自守形式）问题等等。一般的几何作用比较复杂，最简单的是考虑G在L^2(M)上的作用， 线性化 G表示为幺正有界算子 对角化 分解该表示为不可约子表示(cf. Double centralizer thm) 分类 分类所有幺正irrep 回到表示问题，我们经常需要smeared算子，或者说算子值分布。对于表示r，以及fin L^1(G)，定义， [r(f)v=int_G dd{x}f(x)r(x)v] 以f为权重对r(x)做平均。换句话说诱导群代数L^1(G)的表示。 讨论： 对于正则表示，L^1cap L^2态和算子一一对应，和算子态对应的关系是什么。 在第三章讨论对群表示求导得到代数表示中的微妙。 第五节回顾紧群理论，例如Peter-Weyl定理。 两个无穷维表示的拓扑张量积问题，nuclear空间。

Reiko 回复了 Knapp's book on semisimple groups

2 Reps of Small Groups 我们用物理约定，和Knapp的符号差一点，

%%[begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}]%% begin{align} z'&=r(z)=frac{az+b}{cz+d}z&=-frac{dz-b}{cz-a} pdv{z'}{z}&=(cz+d)^{-2} D&=h+hbar=1+is D^S &=2-D=1-is J&=|h-hbar|infrac{1}{2}Z J^S&=-J hat{f}(p)&=int f(x) e^{-ipx} end{align} S for shadow, D for dimension and J for spin. Unitary Irreps of SL(2,C) （幺正）主列表示r_{D,J}作用在H=L^2(C)上，

begin{align} rbegin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}f(z,zbar)&=(pdv{z'}{z})^h (pdv{zbar'}{zbar})^{hbar}f(z',zbar') &=(cz+d)^{-2h}(bar{c}zbar+bar{d})^{-2hbar}f(z',zbar') &=|cz+d|^{-2-2is}arg^{2J}(cz+d)f(z',zbar') end{align} J的取值保证单值性，遵循物理中primary算子的变换关系，但需要把量纲延拓到主列上。在单位元附近的连续性可用控制收敛定理看出。这里也可以用共形紧化提升到线性作用。 对于SO(3,1)cong PSL(2,C)=SL(2,C)backslash set{pm 1}，单值性限制自旋为整数。 主列表示的幺正性：定义内积为， [(f,g)=int f g^{*}] D的实部贡献和Jacobian相消，因此是不变内积。 讨论： 补充列表示的内积需要另行定义。SL(2,C)没有离散列； 物理中Hilbert空间的幺正性（以及给出的幺正下界）对应Lorentzian共形群的幺正性，或者说原点表示和无穷远表示配对的正定性，在这种意义下主列是非幺正的（出现在celestial CFT中）。 主列表示的不可约性：由平移，旋转和伸缩生成的上三角子群已经可以说明不可约性（这点来自于诱导表示）。下面计算和上三角子群交换的算子A必须为常数算子。 和平移交换(Af)(z+a)=A(f(z+a))在Fourier空间为， [hat{Af}] 略去 Unitary Irreps of SL(2,R) 限定在z=zbar上。 离散列

Reiko 回复了 Colliot要添加的功能

隐藏功能：可以隐藏一部分文字，来保证行文的连贯性。

Colliot 回复了 文章名字至少要十个字

stacks project 好像用的是 XyJax（一个 xy-pic 的实现） 来做交换图。

Reiko 回复了 Colliot要添加的功能

可选的自动调整中英文字符间距功能， 用该功能后自动识别中英文字符中是否有一个 blank，如果没有则自动添加。

Reiko 回复了 Colliot要添加的功能

这个是physics包，现在这个包虽然require了但是还是用不了。

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