无穷乘积数学

这个无穷乘积的结果是多少?

$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)$$

Colliot12/16/2017, 9:04:23 PM

卧槽,Mathematica 算出来是 $\dfrac{\sinh\pi}{\pi}$

Colliot12/16/2017, 9:46:34 PM

不会做 |_・)( _ _)ノ|壁

ztony12/16/2017, 9:53:09 PM

我感觉可以直观理解一下……

$$\sinh x = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} + \cdots $$

好吧直观理解不了……无法把里面 $\pi$ 的高次项消掉。

Colliot12/16/2017, 9:57:36 PM

上面打错了 QAQ 目前还没有修改功能。我好想有点头绪了,用

$$\dfrac{\pi^2}{6}=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots$$

联合起来搞搞应该就能看见胜利的曙光。

Colliot12/16/2017, 9:59:43 PM

may help:

evaluate $\prod_{n=1}^\infty \bigl(1 + \frac1{n^2} + \frac1{n^4}\bigr)$, from math.se

nickname12/16/2017, 10:01:41 PM

根据资料 [1],关键在于以下结论 [2]:

\[ \frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty \biggl( 1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2} \biggr) \]

该结论的证明,细节见 [3]. 以下简述过程:

  1. 将函数 $f(x) = \cos(\mu x),x \in (-\pi, \pi), \mu \notin\mathbb{Z}$ 傅立叶展开,得到式 1;
  2. 由连续性,取 $x = \pi$,可得 $\cot(\mu \pi)$ 的无穷级数展开,得到式 2;
  3. 限制 $\mu < 1$,可知式2中的无穷级数一致收敛,对式2在区间$\mu \in (0, x)$积分,即得到最初的结论. 还要回忆一下复变函数的知识,我们就能解答最初的问题了。

[1] Weisstein, Eric W. "Sinc Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. link

[2] Gearhart, W. B. and Schulz, H. S. "The Function sinx/x." College Math. J. 21, 90-99, 1990.

[3] R. Courant and F. John. "Introduction to Calculus and Analysis, volume I." Interscience Publishers, John Wiley & Sons. New York, 1965. p. 602.

nickname12/17/2017, 12:03:31 AM

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nickname 回复了 LaTeX 有哪些可以改进的地方?

希望改进为: 只用编译一次,中间过程全部走内存,可选辅助文件是否输出 原生支持unicode 字体选择,原生提供字体回退和自由分区 支持更多图片类型 提高图文混排功能 提高编译器的「智能程度」,减少行间公式环境的数量 其实相当于,基于目前的软硬件水平重新设计和制造。知乎有人估计过,以 google 水平的薪资,大概需要10人*年的工作量。

Colliot 回复了 类型系统可以对写机器学习的代码有所助益吗?

看这个帖子有感——PyTorch 有哪些坑/bug?——不知道类型系统能不能帮助。

ice1000 回复了 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

那应该是markdown太垃圾了。我们换个渲染器吧。 或者改下源码重新编译个markdown吧。

Colliot 回复了 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

你的姿势可能不对…… * 被 markdown 转换成 _ 了…… DeclareMathOperator{Set}{Set} eclareMathOperator{where}{where} eclareMathOperator{proof}{proof} eclareMathOperator{data}{data} eclareMathOperator{rev}{rev} eclareMathOperator{ff}{ff} eclareMathOperator{lemma}{lemma} eclareMathOperator{intro}{intro} eclareMathOperator{id}{id} eclareMathOperator{refl}{refl} eclareMathOperator{params}{params} eclareMathOperator{Vec}{Vec} eclareMathOperator{rewrite}{rewrite} eclareMathOperator{with}{with} eclareMathOperator{lhs}{lhs} eclareMathOperator{rhs}{rhs} eclareMathOperator{xs}{xs} begin{align} amp; data F : Bbb{N} rightarrow Set where amp; ff : (n : Bbb{N}) rightarrow F n

amp; proof _0 : {n : Bbb{N}} rightarrow F n rightarrow F n rightarrow F n amp; proof _0 (ff n) (ff {.}n) = ff n nd{align}

ice1000 回复了 说起来感觉上线之后没那么辣眼睛

谢谢虎哥 虎哥 人间的真男人 虎哥 我的偶像

ice1000 回复了 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

虎哥,这个社区的槽点让我想虎哥化了。

ice1000 回复了 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

在知乎,类似的 LaTeX 代码渲染正常。 只是这篇博客还没转载到知乎,就暂时参考的老博客。

ice1000 回复了 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

目前的状况:垃圾的一比,我空个行就识别错误了。

ice1000 回复了 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

渲染测试:
eclareMathOperator{Set}{Set} eclareMathOperator{where}{where} eclareMathOperator{proof}{proof} eclareMathOperator{data}{data} eclareMathOperator{rev}{rev} eclareMathOperator{ff}{ff} eclareMathOperator{lemma}{lemma} eclareMathOperator{intro}{intro} eclareMathOperator{id}{id} eclareMathOperator{refl}{refl} eclareMathOperator{params}{params} eclareMathOperator{Vec}{Vec} eclareMathOperator{rewrite}{rewrite} eclareMathOperator{with}{with} eclareMathOperator{lhs}{lhs} eclareMathOperator{rhs}{rhs} eclareMathOperator{xs}{xs} begin{align} amp; data F : Bbb{N} rightarrow Set where amp; ff : (n : Bbb{N}) rightarrow F n

amp; proof _0 : {n : Bbb{N}} rightarrow F n rightarrow F n rightarrow F n amp; proof _0 (ff n) (ff {.}n) = ff n nd{align}