Part II Regular Boundary Value Problems 第三章开始讨论经典的SL方程的边界值问题， [-left(p y^{prime}right)^{prime}+q y=lambda w y quadtext { on } J=(a, b),quad-infty leq a<b leq infty] 以及一般的边界条件， [A Y(a)+B Y(b)=0, Y=left[begin{array}{c} y p y^{prime} end{array}right], A, B in M_{2}(mathbb{C})] regularity要求r=1 / p, q, w in L(J, mathbb{C})。 比较重要的概念是特征函数， [delta(lambda)=delta(a, b, A, B, P, w, lambda)=operatorname{det}[A+B Phi(b, a, P, w, lambda)]] 其中Phi是把方程写为一阶ODE对应的primary fundamental matrix。引理3.2.1说明特征函数关于lambda是整函数，零点为特征值，因而可以刻画特征值的行为（引理3.2.4）。 接下来是简单讨论了一下常用的边界条件，一种是两个边界点的条件独立，一种是self-adjoint，这里并不要求系数的正定性。 第三节具体算了Fourier方程-y^{prime prime}=lambda y text { on }(a, b),-infty leq a<b leq infty，一些值得注意的评论是，用一列逼近mathbb{R}的定义域，相应的spec(trum)会逼近mathbb{R}上的连续spec，后者是一个singular SL问题。这个现象是普遍的，在第十章会讨论用一列regular SL逼近singular SL。 第四节讨论关于input的形变性质，定义space of regular SL为一个距离空间， [begin{aligned} dleft(omega, omega_{0}right) &=left|a-a_{0}right|+left|b-b_{0}right|+|| A-A_{0}||+|| B-B_{0}|| &+int_{a^{prime}}^{b^{prime}}left(left|frac{1}{widetilde{p}}-frac{1}{widetilde{p}{0}}right|+left|tilde{q}-tilde{q}{0}right|+left|widetilde{w}-widetilde{w_{0}}right|right) end{aligned}] 比较两组input的距离。我们已经知道特征函数可以刻画spec，现在无非是具体讨论特征函数关于input的形变。这里基本只是局部的理论。第五节讨论了连续性，第六节算了关于系数函数的泛函导数。 第七节构造#spec有限的例子，我没兴趣略过。第八节讨论Green函数。 一个比较重要的评论是self-adjoint的情况我们有Hilbert space加spec thm的框架，non-self-adjoint非常复杂，作者评论到相关理论"rather fragmentary"。 第四章讨论regular self-adjoint情况，新的input是， [A,Bin M_{2}(mathbb{C}), AEA^=BEB^,operatorname{rank}(A:B)=2,E=left[begin{array}{cc}0, & -1 1, & 0end{array}right]] Part III Oscillation and Singular Existence ProblemsPart IV Singular Boundary Value ProblemPart V Examples and other Topics 第十三章讨论了two intervals的问题，这个是我在CFT中需要用到的，不得不说Paulos懂得真多...... 先写到这吧，边看边补充。

最近用到Sturm-Liouville问题中的一些细节，这个问题非常经典，但发现自己了解的太少，于是开始恶补一番。在读Zettl这本，顺便写一下读后感......基本是复读机。 Part I Existence and Uniqueness Problems 第一章是介绍一阶矩阵ODE的常识，例如用压缩映射证明存在性，讨论解关于input（系数（要求局部可积），定义域）的连续性和可微分性。这里引入的primary fundamental matrix Phi就是path integral中的演化算子，或者指数映射。 第二章套用第一章的set-up讨论非齐次SL方程-left(py^{prime}right)^{prime}+q y=f的初值问题。这里值得强调是regular vs. singular定义为系数1/p,q,f在定义域上可积，而不是一些常见文献中区分定义域是否有界以及系数可积。 为了看到这一点可以考虑下面的Fourier 方程做代换t=log s把t的无界性拉到有限处，sin(0,1)，这时1/p=w=frac{1}{s}在0附近不可积。 下面是Sturm分离定理和比较定理，条件是a.e. p>0。预备定理2.6.1说明非平凡解的零点在regular（边界）点附近是孤立的，零点的聚点只可能是singular点。分离定理2.6.2说明两个独立的解的零点是交替的，y_1的两个零点中有一个y_2的零点。由此引入singular点的振荡类型(O)，在其附近所有的解都有无穷多的零点。比较定理2.6.3是当两个齐次SL方程的系数满足一个序关系的时候可以用一个来控制另一个的零点。 第七节讨论了系数是周期函数的情况，称为Floquet理论，自然和能带理论有一些overlap，另一个相关的是Floquet dynamics，讨论系统在周期性的扰动下的行为，相关的文章可以看这篇Floquet CFT的引文。

Based on talks given by Shao (at StringMath2020) and Seiberg (at String2020). arXiv: 2003.10466,2004.00015,2004.06115 动机 一般来说，对于一个带有局部相互作用的格点模型，它在IR可以用一个连续的有效场论来描述，例如Ising模型和phi^4标量场。更具体的例子是我们期待任意的gapped phase在IR都可以用TQFT来描述。分性子模型是一个反例，它们不具有通常意义的连续极限，不存在一个IR的TQFT描述。 S&S的工作是在一定程度上扩展QFT的框架来容纳分性子模型。 extending the framework of QFT to incorporate fractons. centering around the X-cube model [Vijay, Haah, Fu 2016], one of the most celebrated gapped fracton models, and its related systems. restricted to (3+1)-dimensional flat spacetime. the continuum description is not topological, but has quasi-topological defects and operators. X-cube模型 格点是3维的立方晶格，边长为L_x,L_y,L_z，取周期边界条件。在每一条边上有一个2维的Hilbert空间（可以理解为自旋），整个Hilbert空间是所有边上的（拓扑）张量积。Hamiltonian由A terms和B terms构成, =-sum_{c} A_{c}-sum_{v}left(B_{v}^{x}+B_{v}^{y}+B_{v}^{z}right) 一项是对所有的格子求和，第二项是对顶点求和，A_c是一个格子c中每一条边l上的Pauli矩阵sigma^1乘积，B_v^z是对一个顶点的相连的6条边中横向方向的4条边上的sigma^3乘积。 如图（假的图） 可以验证的是这个H中的任意两项都是交换的。 X-cube模型具有如下奇怪的性质： 基态数量为2^{2 L^{x}+2 L^{y}+2 L^{z}-3}，按照格子的长度指数增长，因而取Lto infty的极限时发散。 基态数量是稳健的，对Hamiltonian用局部算子做小的微扰不会定性的改变其性质。 激发态的移动方向是受限制的（比较：在通常的QFT中我们可以用动量算子移动粒子的位置），其中一种点状激发称为fracton，单个的fracton无法移动，但带有相反的荷的一对fractons可以沿着横向移动。 Toric code 格点为2维的正方晶格。同样在每一条边上取一个2维的Hilbert space，整个Hilbert space为它们的张量积。Hamiltonian是类似的， =-sum_{p} A_{p}-sum_{v} B_{v} 图片未添加

Z2规范理论 考虑一个2d的正方格子(lattice)，用i标记格点(site)位置，ij标记临近边（nearest-neighbor link），在每一个临近边上给定边变量s_{ij}=s_{ji}=pm1，该边上的子Hilbert空间为， H_{ij}=L^2({pm1})congC^2 也可以理解为一个spin 1/2。 总Hilbert空间定义为所有可能边变量的构型{s_{ij}}生成的空间Hniket{{s_{ij}}}，或者说每一边上的子Hilbert空间的张量积, H=bigotimes_{ij}H_{ij} 这是一个量子Ising模型，构型和态是一对一的。 Z_2规范理论就是在上面的基础上用多个构型来标记一个态。 定义两个构型{s_{ij}}规范等价， s'_{ij}=W_i s_{ij} W^{-1}_j 其中W_i是取值pm1的任意函数，我们用规范等价的构型对应同一个态。 回忆连续场论中的类似物是Wilson line， e^{int A d x} rightarrow g(x) e^{int A dx} g^{-1}(x) 具体讨论最简单的2times2格子，有2^4=16种不同构型，规范变换W_i的自由度也是16，但常值规范变换W_i=1和W_i=-1不改变构型{s_{ij}}（连续场论中类似物为剩余对称性，例如全纯映射中的SL(2,C)部分），因此只能模去8个自由度，得到规范等价类为16/8=2，是一个dim=2的Hilbert空间。 标记规范等价类的一种方式是Wegner-Wilson圈变量（连续场论类比Wilson圈）， F_L=s_{ij}s_{jk}cdots s_{li} 乘积遍历圈L经过的格点，又称为通过L的Z_2 flux。在上面的例子中只有一个圈，取值pm1，对应两个态。 对一般的N个格点的环面，dimH=2^{N+1}，每一个（最小）圈L对应的F_L标记4个态，关系prod_L F_L=1约化一半，因此2^N times 4 /2=dimH。 一般的局域Hamiltonian，例如Ising模型的，应该满足， H=sum_{ij}H_{ij}+text{short range interaction} 其中H_{ij}是边Hilbert空间上的Hamiltonian，short range是指这些算子作用在例如临近边ijcoprod jk的Hilbert空间上，相互作用距离ll系统尺寸。 这里由于引入了规范变换，Hamiltonian也应该是规范不变的， H_{Z_{2}}=-g sum_{L} F_{L}-t sum_{ij} sigma_{i j}^{1} 其中F_L是上面引入的flux算子，s^1算子的作用是改变自旋到相反方向，也是规范不变的。

规范结构不是对称性 这段截取自Wen老师讨论多体的书。 在Hilbert space的框架下，对称性是指两个不同的state ket{1}和ket{2}具有相同的性质（构成一个表示），例如和其它state的matrix coefficients，通常(semi-simple case)我们能用对称性来正交化braket{1}{2}=0。 规范结构是指我们用不同的标签ket{1}和ket{2}来label同一个state，因而braket{1}{2}=1，也不存在所谓的“对称性”的破缺。例如在xinR上， H=p_x^2+V(x) 周期T的的单粒子Hamiltonian。 一种实现方式是它是S^1上的粒子，mathcal{H}=L^2(S^1)，这时ket{x}和ket{x+nT}是同一个state的不同label；另一种不同的实现方式是mathcal{H}=L^2(R)，前者的Hilbert space是后者的规范不变的sector。 类似的事情可以看nlab中关于等价原理的讨论。 Gauge structure in BV formalism 在BV formalism 中存在非平凡的Noether identities

deleted......

Preamble 也许要放在开头，确保加载顺序。

AEA^ = AEA^ a

vev{1}aaaaaaaa

ket{1} ev{1}