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Neural Networks and QFT
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Reiko1/21/2021, 3:51:19 PM
Path integral as formal measure
另一方面，很多情况下上述意义的QFT有path integral的描述。roughly, path integral是通常意义的（积分）测度的推广，由于被积的空间一般具有更丰富的结构，例如mapping space，这个测度携带了base manifold 信息。
通常我们说，无穷维的函数空间上不存在(Lebesgue)意义下的平移不变测度。在axiomatic QFT中，目前只在低维具体证明了一些non-Gaussian measure/非自由场论的存在性。而最近几年，$4d\,\phi^4$理论被证明连续极限只能是自由场论，换句话说，$\phi^4$微扰场论只能作为EFT存在。
为什么收敛性通常（不）是一个问题
因为遇到的收敛性问题一般最终归约到了到$\mathbb{R}$的赋值，而之所以需要在$\mathbb{R}$上赋值，是因为现实世界在我们了解的尺度内很好的被$\mathbb{R}$上的数学/物理所描述。而EFT中的微扰计算，一般来说只关心到$\mathbb{R}[[h]]$的赋值，即计算结果是$h$的形式幂级数。
另一个例子是关于Grassmann数的Berezin积分，目前为止这种积分还未能被理解成通常意义的测度，我们实际需要的是它bookkeeping了超空间的信息，以及$\int d\th \th $读出一个实数。尽管任意一个supermanifold都(non-canonically)同胚于一个exterior bundle。
最后一个例子是在进行正规化的时候，我们一般在tempered distribution空间上进行计算，这上面的积分也已经失去了测度的直观意义。最简单的例子是$\frac{1}{x^2}$作为分布满足，
\[\int_{\mathbb{R}}dx\,\frac{1}{x^2}=0\]
我们实际需要的是分布在Fourier变换下的良好行为。
某种角度下，收敛性不是一个问题和Laziness以及计算中的结构相关。
我们用mathematica的例子来进行简单说明，一个函数是一个(tree) graph，下面的图片来自《Mathematica 编程：高级导论》，表达了函数$z \sin(x+y)$的粗粒化的结构，
在进行表达式的符号计算时，程序会应用$\sin$满足的等式，在进行数值计算时，程序会应用数值计算的算法，而这些细节被封装到了相应的包中。在这种意义上，图片中的$\sin$是一种局部粗粒化的表达方式。
抽象$\approx$粗粒化$\approx$Quotient$\approx$封装$\approx \cdots$
在符号计算的时候，如果我们只应用了$\sin$的全部规则中的一个子集$P$，如果将$\sin$替换成满足$P$的其它任意的不等于$\sin$的函数$\text{nonsin}$，那么这段形式推导依然是符合逻辑的。差别只在进行具体的赋值时体现。其它更熟知的例子可见p-adic $\Gamma$函数，q-deformed quantities。
让我们总结一下，收敛性问题一般归约到$\mathbb{R}$上的（线性）空间的拓扑，但很多计算中出现的结构不涉及收敛性作为抽象的对象独立存在，尽管它们和我们所知的尺度内的现实空间没有联系。
Elsewhere
Reiko replied to 文章名字至少要十个字
11111111111
Colliot replied to Shadow formalism
噗 deleted 是什么操作
Reiko replied to Saddle point近似
如何估计积分 A(a)int_{(0,1)}f(x)x^a] atoinfty的行为。 把f(x)看成测试函数，x^a当atoinfty的时候只在1点不为0，因此可以用A(a)将其归一化为delta function，只要f(x)充分光滑，这个积分结果就是sim f(1) 如何估计 A(a)int K(a,x) f(x)] ato infty的行为。延续上面的思路，找K(a,x)关于x的极大值即可。 这个出现在弦散射振幅取a'to0极限，以及一些散射振幅计算中。
Reiko replied to Knapp's book on semisimple groups
3 Smooth Vectors and the Universal Enveloping Algebra 定理: 对于李群G和实李代数glie，有U(glie^{C})和G上左不变微分算子D(G)的自然同构。 讨论紧李群的有限维表示时直接求（李）导数就可以给出对应李代数的表示。对于无穷维表示首先就遇到无界算子定义域的问题，例如考虑幺正表示的时候，回忆Stone定理，单参数幺正子群e^{t A}和反自伴算子A一一对应，考虑A的多项式时需要进一步缩小定义域。为此对于表示H定义光滑矢量vinH要满足， [gto r(g)v] 对于gin G是光滑的。光滑矢量空间记为C^{infty}(r)。 由此可定义r诱导的U(glie^{C})的表示， [r(X)v=lim_{tto 0}frac{r(e^{t X})v-v}{t}] 为了看到C^{infty}(r)在H中是稠密的，我们可以考虑Garding子空间，定义为r(f)v张成的空间。
Reiko replied to Knapp's book on semisimple groups
一般框架 下面开始讨论在Hilbert空间上的表示r:Gto U(H)，连续性要求为Gtimes Hto H连续，这里没记错的话和强连续以及弱连续等价。算子模连续过强不会得到有趣的东西。强弱连续在物理上的含义就是我们只需要观测量的连续性。 Schur引理：不可约性等价于自等变算子必定是常数算子。这件事情对比较一般的拓扑群成立，是有界算子spec定理直接推论。Etingof的讲义中讨论过别的无穷维版本的Schur引理。 选取左不变Haar测度dd x，可以自然构造左正则表示L， [g(f(x))=f(g^{-1}x)] 其中fin H=L^2(G,dd x) 考虑正则表示的动机之一是沿袭有限群和紧群表示论的思路，另一个动机可以考虑如下的图像。 几何空间的对称性，例如G作用到M上， [r:Gto Diff(M)] 函子乘法自然诱导G在M相关的对象（子结构，丛等等）上的作用，一般的如果有函子F，那么， [GtoDiff(M)to Aut(F(M))] 我们可以考虑相应的例如拓扑问题，G不变微分方程问题，M上带有对称性的函数（例如自同构形式，好像其他人翻译成自守形式）问题等等。一般的几何作用比较复杂，最简单的是考虑G在L^2(M)上的作用， 线性化 G表示为幺正有界算子 对角化 分解该表示为不可约子表示(cf. Double centralizer thm) 分类 分类所有幺正irrep 回到表示问题，我们经常需要smeared算子，或者说算子值分布。对于表示r，以及fin L^1(G)，定义， [r(f)v=int_G dd{x}f(x)r(x)v] 以f为权重对r(x)做平均。换句话说诱导群代数L^1(G)的表示。 讨论： 对于正则表示，L^1cap L^2态和算子一一对应，和算子态对应的关系是什么。 在第三章讨论对群表示求导得到代数表示中的微妙。 第五节回顾紧群理论，例如Peter-Weyl定理。 两个无穷维表示的拓扑张量积问题，nuclear空间。
Reiko replied to Knapp's book on semisimple groups
2 Reps of Small Groups 我们用物理约定，和Knapp的符号差一点，
%%[begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}]%% begin{align} z'&=r(z)=frac{az+b}{cz+d}z&=-frac{dz-b}{cz-a} pdv{z'}{z}&=(cz+d)^{-2} D&=h+hbar=1+is D^S &=2-D=1-is J&=|h-hbar|infrac{1}{2}Z J^S&=-J hat{f}(p)&=int f(x) e^{-ipx} end{align} S for shadow, D for dimension and J for spin. Unitary Irreps of SL(2,C) （幺正）主列表示r_{D,J}作用在H=L^2(C)上，
begin{align} rbegin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}f(z,zbar)&=(pdv{z'}{z})^h (pdv{zbar'}{zbar})^{hbar}f(z',zbar') &=(cz+d)^{-2h}(bar{c}zbar+bar{d})^{-2hbar}f(z',zbar') &=|cz+d|^{-2-2is}arg^{2J}(cz+d)f(z',zbar') end{align} J的取值保证单值性，遵循物理中primary算子的变换关系，但需要把量纲延拓到主列上。在单位元附近的连续性可用控制收敛定理看出。这里也可以用共形紧化提升到线性作用。 对于SO(3,1)cong PSL(2,C)=SL(2,C)backslash set{pm 1}，单值性限制自旋为整数。 主列表示的幺正性：定义内积为， [(f,g)=int f g^{*}] D的实部贡献和Jacobian相消，因此是不变内积。 讨论： 补充列表示的内积需要另行定义。SL(2,C)没有离散列； 物理中Hilbert空间的幺正性（以及给出的幺正下界）对应Lorentzian共形群的幺正性，或者说原点表示和无穷远表示配对的正定性，在这种意义下主列是非幺正的（出现在celestial CFT中）。 主列表示的不可约性：由平移，旋转和伸缩生成的上三角子群已经可以说明不可约性（这点来自于诱导表示）。下面计算和上三角子群交换的算子A必须为常数算子。 和平移交换(Af)(z+a)=A(f(z+a))在Fourier空间为， [hat{Af}] 略去 Unitary Irreps of SL(2,R) 限定在z=zbar上。 离散列
Reiko replied to Colliot要添加的功能
隐藏功能：可以隐藏一部分文字，来保证行文的连贯性。
Colliot replied to 文章名字至少要十个字
stacks project 好像用的是 XyJax（一个 xy-pic 的实现） 来做交换图。
Reiko replied to Colliot要添加的功能
可选的自动调整中英文字符间距功能， 用该功能后自动识别中英文字符中是否有一个 blank，如果没有则自动添加。
Reiko replied to Colliot要添加的功能
这个是physics包，现在这个包虽然require了但是还是用不了。
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