%Abbreviations of Greek letters ef a {alpha} ef b {beta} ef g {gamma} ef G {Gamma} ef d {delta} ef D {Delta} ef e {epsilon} ef ve {varepsilon} ef m {mu} ef n {nu} ef k {kappa} ef l {lambda} ef L {Lambda} ef s {sigma} ef S {Sigma} ef r {rho} ef o {omega} ef O {Omega} ef th {theta} ef Th {Theta} ef t {tau} ef z {zeta} %Abbreviations of mathbb fonts ewcommand{R}{mathbb{R}} ewcommand{N}{mathbb{N}} ewcommand{Z}{mathbb{Z}} ewcommand{C}{mathbb{C}} ewcommand{V}{mathbb{V}} %%vector spaces ewcommand{W}{mathbb{W}} %%vector spaces %Abbreviations of Lie algebras ewcommand{glie}{mathfrak{g}} %%generic Lie algebra ewcommand{gllie}{mathfrak{gl}} %%general linear ewcommand{sllie}{mathfrak{sl}} %%special linear ewcommand{solie}{mathfrak{so}} %%special orthogonal ewcommand{splie}{mathfrak{sp}} %%symplectic ewcommand{nlie}{mathfrak{n}} %%nilpotent or solvable algebra ewcommand{plie}{mathfrak{p}} %%nilpotent or solvable algebra ewcommand{hlie}{mathfrak{h}} %%abelian factor ewcommand{klie}{mathfrak{k}} %%maximal compact subalgebra ewcommand{blie}{mathfrak{b}} %%Borel subalgebra %Others ewcommand{greenfunction}[1]{langle #1rangle} %%green functions enewcommand{vev}[1]{langle #1rangle} %%green functions enewcommand{H}{mathcal{H}} %%Hilbert spaces ewcommand{p}{partial} %%partial derivatives ewcommand{nn}{nonumber} ewcommand{Ccat}{mathcal{C}} %%categories ewcommand{Acat}{mathcal{A}} %%categories ewcommand{Bcat}{mathcal{B}} %%categories ewcommand{Diff}{operatorname{Diff}} ewcommand{Aut}{operatorname{Aut}} enewcommand{hbar}{bar{h}} ewcommand{zbar}{bar{z}} eclareMathOperator{sign}{sign} %due to old version of MathJax ewcommand{set}[1]{{#1}}

QFT的一般意味 让我们暂时忘记物理意义下的QFT所讨论的性质，例如 locality, unitarity, positivity and causality, base manifold vs. target manifold, lattice vs. continuum, global symmetry and gauge structure, 等等。 一个QFT是描述某类激发之间的相互关系的理论。QFT的无穷小形变是相互关系的无穷小形变。QFT之间的（精确）对偶是“大”的形变，以至于可以用不同的变量（标签）标记相同的激发，它蕴含了(moduli) space of QFTs的整体结构的信息。 激发所构成的空间称为state space，隶属于运动学；相互关系为动力学。激发可以是粒子，也可以是其它local operators, defects and other nonlocal objects, fractons, etc. 相互关系可以是相互作用项，散射振幅，OPE代数，等等。

这里试图理解Halverson关于神经网络和QFT的联系的工作，他昨天在这里给了一个报告，视频还未上传，之前在别处的报告已经上传到了ytb。 以下行文风格不正规，涉及不成熟的个人观点，涉及意义不明确的比喻。 比喻 首先我们需要区分以下关于对象/事物的概念， 抽象或者具体的对象，不依赖于人类 特定人类群体对于该对象的认识 “我”对于该对象的认识，即具体的神经细胞之间的连接和上面传导的相应的信号 在第三个意义下，假设可以对不同的对象进行PCA，两个对象之间可以进行比喻在这里定义为两者的某些特征向量有显著的overlapping，换句话说，两者分享了一些相似的特征。

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噗 deleted 是什么操作

如何估计积分 A(a)int_{(0,1)}f(x)x^a] atoinfty的行为。 把f(x)看成测试函数，x^a当atoinfty的时候只在1点不为0，因此可以用A(a)将其归一化为delta function，只要f(x)充分光滑，这个积分结果就是sim f(1) 如何估计 A(a)int K(a,x) f(x)] ato infty的行为。延续上面的思路，找K(a,x)关于x的极大值即可。 这个出现在弦散射振幅取a'to0极限，以及一些散射振幅计算中。

3 Smooth Vectors and the Universal Enveloping Algebra 定理: 对于李群G和实李代数glie，有U(glie^{C})和G上左不变微分算子D(G)的自然同构。 讨论紧李群的有限维表示时直接求（李）导数就可以给出对应李代数的表示。对于无穷维表示首先就遇到无界算子定义域的问题，例如考虑幺正表示的时候，回忆Stone定理，单参数幺正子群e^{t A}和反自伴算子A一一对应，考虑A的多项式时需要进一步缩小定义域。为此对于表示H定义光滑矢量vinH要满足， [gto r(g)v] 对于gin G是光滑的。光滑矢量空间记为C^{infty}(r)。 由此可定义r诱导的U(glie^{C})的表示， [r(X)v=lim_{tto 0}frac{r(e^{t X})v-v}{t}] 为了看到C^{infty}(r)在H中是稠密的，我们可以考虑Garding子空间，定义为r(f)v张成的空间。

一般框架 下面开始讨论在Hilbert空间上的表示r:Gto U(H)，连续性要求为Gtimes Hto H连续，这里没记错的话和强连续以及弱连续等价。算子模连续过强不会得到有趣的东西。强弱连续在物理上的含义就是我们只需要观测量的连续性。 Schur引理：不可约性等价于自等变算子必定是常数算子。这件事情对比较一般的拓扑群成立，是有界算子spec定理直接推论。Etingof的讲义中讨论过别的无穷维版本的Schur引理。 选取左不变Haar测度dd x，可以自然构造左正则表示L， [g(f(x))=f(g^{-1}x)] 其中fin H=L^2(G,dd x) 考虑正则表示的动机之一是沿袭有限群和紧群表示论的思路，另一个动机可以考虑如下的图像。 几何空间的对称性，例如G作用到M上， [r:Gto Diff(M)] 函子乘法自然诱导G在M相关的对象（子结构，丛等等）上的作用，一般的如果有函子F，那么， [GtoDiff(M)to Aut(F(M))] 我们可以考虑相应的例如拓扑问题，G不变微分方程问题，M上带有对称性的函数（例如自同构形式，好像其他人翻译成自守形式）问题等等。一般的几何作用比较复杂，最简单的是考虑G在L^2(M)上的作用， 线性化 G表示为幺正有界算子 对角化 分解该表示为不可约子表示(cf. Double centralizer thm) 分类 分类所有幺正irrep 回到表示问题，我们经常需要smeared算子，或者说算子值分布。对于表示r，以及fin L^1(G)，定义， [r(f)v=int_G dd{x}f(x)r(x)v] 以f为权重对r(x)做平均。换句话说诱导群代数L^1(G)的表示。 讨论： 对于正则表示，L^1cap L^2态和算子一一对应，和算子态对应的关系是什么。 在第三章讨论对群表示求导得到代数表示中的微妙。 第五节回顾紧群理论，例如Peter-Weyl定理。 两个无穷维表示的拓扑张量积问题，nuclear空间。

2 Reps of Small Groups 我们用物理约定，和Knapp的符号差一点，

%%[begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}]%% begin{align} z'&=r(z)=frac{az+b}{cz+d}z&=-frac{dz-b}{cz-a} pdv{z'}{z}&=(cz+d)^{-2} D&=h+hbar=1+is D^S &=2-D=1-is J&=|h-hbar|infrac{1}{2}Z J^S&=-J hat{f}(p)&=int f(x) e^{-ipx} end{align} S for shadow, D for dimension and J for spin. Unitary Irreps of SL(2,C) （幺正）主列表示r_{D,J}作用在H=L^2(C)上，

begin{align} rbegin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}f(z,zbar)&=(pdv{z'}{z})^h (pdv{zbar'}{zbar})^{hbar}f(z',zbar') &=(cz+d)^{-2h}(bar{c}zbar+bar{d})^{-2hbar}f(z',zbar') &=|cz+d|^{-2-2is}arg^{2J}(cz+d)f(z',zbar') end{align} J的取值保证单值性，遵循物理中primary算子的变换关系，但需要把量纲延拓到主列上。在单位元附近的连续性可用控制收敛定理看出。这里也可以用共形紧化提升到线性作用。 对于SO(3,1)cong PSL(2,C)=SL(2,C)backslash set{pm 1}，单值性限制自旋为整数。 主列表示的幺正性：定义内积为， [(f,g)=int f g^{*}] D的实部贡献和Jacobian相消，因此是不变内积。 讨论： 补充列表示的内积需要另行定义。SL(2,C)没有离散列； 物理中Hilbert空间的幺正性（以及给出的幺正下界）对应Lorentzian共形群的幺正性，或者说原点表示和无穷远表示配对的正定性，在这种意义下主列是非幺正的（出现在celestial CFT中）。 主列表示的不可约性：由平移，旋转和伸缩生成的上三角子群已经可以说明不可约性（这点来自于诱导表示）。下面计算和上三角子群交换的算子A必须为常数算子。 和平移交换(Af)(z+a)=A(f(z+a))在Fourier空间为， [hat{Af}] 略去 Unitary Irreps of SL(2,R) 限定在z=zbar上。 离散列