Based on talks given by Shao (at StringMath2020) and Seiberg (at String2020). arXiv: 2003.10466,2004.00015,2004.06115 动机 一般来说，对于一个带有局部相互作用的格点模型，它在IR可以用一个连续的有效场论来描述，例如Ising模型和phi^4标量场。更具体的例子是我们期待任意的gapped phase在IR都可以用TQFT来描述。分性子模型是一个反例，它们不具有通常意义的连续极限，不存在一个IR的TQFT描述。 S&S的工作是在一定程度上扩展QFT的框架来容纳分性子模型。 extending the framework of QFT to incorporate fractons. centering around the X-cube model [Vijay, Haah, Fu 2016], one of the most celebrated gapped fracton models, and its related systems. restricted to (3+1)-dimensional flat spacetime. the continuum description is not topological, but has quasi-topological defects and operators. X-cube模型 格点是3维的立方晶格，边长为L_x,L_y,L_z，取周期边界条件。在每一条边上有一个2维的Hilbert空间（可以理解为自旋），整个Hilbert空间是所有边上的（拓扑）张量积。Hamiltonian由A terms和B terms构成, =-sum_{c} A_{c}-sum_{v}left(B_{v}^{x}+B_{v}^{y}+B_{v}^{z}right) 一项是对所有的格子求和，第二项是对顶点求和，A_c是一个格子c中每一条边l上的Pauli矩阵sigma^1乘积，B_v^z是对一个顶点的相连的6条边中横向方向的4条边上的sigma^3乘积。 如图（假的图） 可以验证的是这个H中的任意两项都是交换的。 X-cube模型具有如下奇怪的性质： 基态数量为2^{2 L^{x}+2 L^{y}+2 L^{z}-3}，按照格子的长度指数增长，因而取Lto infty的极限时发散。 基态数量是稳健的，对Hamiltonian用局部算子做小的微扰不会定性的改变其性质。 激发态的移动方向是受限制的（比较：在通常的QFT中我们可以用动量算子移动粒子的位置），其中一种点状激发称为fracton，单个的fracton无法移动，但带有相反的荷的一对fractons可以沿着横向移动。 Toric code 格点为2维的正方晶格。同样在每一条边上取一个2维的Hilbert space，整个Hilbert space为它们的张量积。Hamiltonian是类似的， =-sum_{p} A_{p}-sum_{v} B_{v} 图片未添加

Z2规范理论 考虑一个2d的正方格子(lattice)，用i标记格点(site)位置，ij标记临近边（nearest-neighbor link），在每一个临近边上给定边变量s_{ij}=s_{ji}=pm1，该边上的子Hilbert空间为， H_{ij}=L^2({pm1})congC^2 也可以理解为一个spin 1/2。 总Hilbert空间定义为所有可能边变量的构型{s_{ij}}生成的空间Hniket{{s_{ij}}}，或者说每一边上的子Hilbert空间的张量积, H=bigotimes_{ij}H_{ij} 这是一个量子Ising模型，构型和态是一对一的。 Z_2规范理论就是在上面的基础上用多个构型来标记一个态。 定义两个构型{s_{ij}}规范等价， s'_{ij}=W_i s_{ij} W^{-1}_j 其中W_i是取值pm1的任意函数，我们用规范等价的构型对应同一个态。 回忆连续场论中的类似物是Wilson line， e^{int A d x} rightarrow g(x) e^{int A dx} g^{-1}(x) 具体讨论最简单的2times2格子，有2^4=16种不同构型，规范变换W_i的自由度也是16，但常值规范变换W_i=1和W_i=-1不改变构型{s_{ij}}（连续场论中类似物为剩余对称性，例如全纯映射中的SL(2,C)部分），因此只能模去8个自由度，得到规范等价类为16/8=2，是一个dim=2的Hilbert空间。 标记规范等价类的一种方式是Wegner-Wilson圈变量（连续场论类比Wilson圈）， F_L=s_{ij}s_{jk}cdots s_{li} 乘积遍历圈L经过的格点，又称为通过L的Z_2 flux。在上面的例子中只有一个圈，取值pm1，对应两个态。 对一般的N个格点的环面，dimH=2^{N+1}，每一个（最小）圈L对应的F_L标记4个态，关系prod_L F_L=1约化一半，因此2^N times 4 /2=dimH。 一般的局域Hamiltonian，例如Ising模型的，应该满足， H=sum_{ij}H_{ij}+text{short range interaction} 其中H_{ij}是边Hilbert空间上的Hamiltonian，short range是指这些算子作用在例如临近边ijcoprod jk的Hilbert空间上，相互作用距离ll系统尺寸。 这里由于引入了规范变换，Hamiltonian也应该是规范不变的， H_{Z_{2}}=-g sum_{L} F_{L}-t sum_{ij} sigma_{i j}^{1} 其中F_L是上面引入的flux算子，s^1算子的作用是改变自旋到相反方向，也是规范不变的。

规范结构不是对称性 这段截取自Wen老师讨论多体的书。 在Hilbert space的框架下，对称性是指两个不同的state ket{1}和ket{2}具有相同的性质（构成一个表示），例如和其它state的matrix coefficients，通常(semi-simple case)我们能用对称性来正交化braket{1}{2}=0。 规范结构是指我们用不同的标签ket{1}和ket{2}来label同一个state，因而braket{1}{2}=1，也不存在所谓的“对称性”的破缺。例如在xinR上， H=p_x^2+V(x) 周期T的的单粒子Hamiltonian。 一种实现方式是它是S^1上的粒子，mathcal{H}=L^2(S^1)，这时ket{x}和ket{x+nT}是同一个state的不同label；另一种不同的实现方式是mathcal{H}=L^2(R)，前者的Hilbert space是后者的规范不变的sector。 类似的事情可以看nlab中关于等价原理的讨论。 Gauge structure in BV formalism 在BV formalism 中存在非平凡的Noether identities

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Preamble 也许要放在开头，确保加载顺序。

AEA^ = AEA^ a

1 介绍 这篇论文的目的是探讨重整化群，以及它在临界现象和场论中的应用。我们会用epsilon展开方法来展示思想。 一些未翻译的(dis)claim 1.1 重整化群和物理中的连贯性(coherence)问题 在这一节我们会对重整化群进行哲学式的讨论，读者应该在读完全篇后重读这一部分，在结尾会开始回顾临界现象。 重整化群方法可以用来处理物理中一些最困难的问题，包括相对论性量子场论，临界现象，Kondo效应[1-7]，等等，这些问题的共同要点是涉及的自由度数目非常大。 物理学中大部分问题都涉及大数目的自由度，例如在晶体、液体和气体中涉及10^{23}个电子，每一个电子的每一个坐标都是一个自由度。 相比之下，多数理论方法只适用于一个自由度的情况。例如对于描述一个电子波函数psi(x,y,z)的Schrodinger方程，如果能对这个方程进行分离变量，例如在球坐标中psi=psi_{1}(r)psi_{2}(theta)psi_{3}(phi)，那么问题会无比简单，但显然计算10^{23}个电子的波函数是不可能的，除非做精巧的简化。 在通常情况下10^{23}个自由度会被极大的约化。系统的广延量和强度量（例如能量是广延量，密度是强度量）使得我们能在仅已知一部分微观样本时重构整个宏观系统的性质。因此在相同温度和压力时，含有10^3和10^{23}个原子的两份液体的密度和能量密度应该近似的相等。 那么在不改变气体的定性性质的条件下，我们可以把气体的尺寸减小到多少呢？这个最小的尺寸称之为关联长度(correlation length)。关联长度xi依赖于系统的状态，例如对于气体xi依赖于压力和温度。在容易处理的情况下xi大概是1-2倍的原子间距，这时我们有很多计算方法：维里(virial)展开，微扰展开，Hartree-Fock方法，等等。这些方法通常涉及各种近似，但它们有一个共同点，就是都假设物质的性质和一小团原子的性质相关。当然由三个原子组成的集团已经包含大量的自由度，因而需要进一步合理的简化才能求解。 在一些特殊情况下，关联长度远远大于原子间距。相变的临界点是主要的例子，例如气液相变，铁磁相变，合金的有序-无序(order-disorder)相变，等等。这些列出的临界点都要求热力学变量取在特定的值，例如气液相变在临界温度T_c和临界压力P_c时发生。在临近点处xi是发散的，而在临界点附近xi很大。 临界现象，Kondo问题（金属中的磁性杂质），大分子的束缚，相对论性量子场论，等等，这一大类物理问题被下面这个性质所刻画：在一个xi大小的区域中有成千上万个自由度。例如在相对论性量子场论中，量子场phi(x)在每一点x都是一个自由度，因此在任意有限区域中都包含了无穷多的自由度。一般而言量子场的关联长度是最小质量粒子的Compton波长。对于量子电动力学，起作用的关联长度是电子的Compton波长（10^{-11}厘米）而不是光子的Compton波长（无穷大）。因而在全空间中量子电动力学的性质应该是和在一个尺寸大于10^{-11}厘米的箱子中的性质简单联系在一起的。如果箱子远小于10^{-11}厘米，电子和光子的相互作用会产生显著的影响。 上面罗列的问题

vev{1}aaaaaaaa

ket{1} ev{1}

虎哥终于拒绝做孙子了吗