1 Scope of the Theory

线性约化群

我们采用数学和bootstrap领域更常用的约定对易关系不带因子$i$，因此一般对应anti-Hermitian算子而非Hermitian。这本书中线性约化群定义为stable under conjugate transpose，在代数水平有$\glie=Z(\glie)\oplus [\glie,\glie]$。

Inverse conjugate transpose，或者称为Cartan involution $\Th$，给出Cartan分解，

\[\glie=\klie\oplus\plie\]

在群水平为微分同胚，

\[G=K\exp\plie\]

其中$K$为$\Th$的不动点，是$G$的极大紧子群。

对易关系为， \begin{align} [\klie,\klie]&\subset\klie \ [\klie,\plie]&\subset\plie \ [\plie,\plie]&\subset\klie \end{align}

Iwasawa和Bruhat分解是更进一步的细化。

一般框架

下面开始讨论在Hilbert空间上的表示$\r:G\to U(\H)$，连续性要求为$G\times \H\to \H$连续，这里没记错的话和强连续以及弱连续等价。算子模连续过强不会得到有趣的东西。强弱连续在物理上的含义就是我们只需要观测量的连续性。

Schur引理：不可约性等价于自等变算子必定是常数算子。这件事情对比较一般的拓扑群成立，是有界算子spec定理直接推论。Etingof的讲义中讨论过别的无穷维版本的Schur引理。

选取左不变Haar测度$\dd x$，可以自然构造左正则表示$L$，

\[g(f(x))=f(g^{-1}x)\]

其中$f\in \H=L^2(G,\dd x)$ 考虑正则表示的动机之一是沿袭有限群和紧群表示论的思路，另一个动机可以考虑如下的图像。

几何空间的对称性，例如$G$作用到$M$上，

\[\r:G\to \Diff(M)\]

函子乘法自然诱导$G$在$M$相关的对象（子结构，丛等等）上的作用，一般的如果有函子$F$，那么，

\[G\to\Diff(M)\to \Aut(F(M))\]

我们可以考虑相应的例如拓扑问题，$G$不变微分方程问题，$M$上带有对称性的函数（例如自同构形式，好像其他人翻译成自守形式）问题等等。一般的几何作用比较复杂，最简单的是考虑$G$在$L^2(M)$上的作用，

1. 线性化 $G$表示为幺正有界算子
2. 对角化 分解该表示为不可约子表示(cf. Double centralizer thm)
3. 分类 分类所有幺正irrep

回到表示问题，我们经常需要smeared算子，或者说算子值分布。对于表示$\r$，以及$f\in L^1(G)$，定义，

\[\r(f)v=\int_G \dd{x}f(x)\r(x)v\]

以$f$为权重对$\r(x)$做平均。换句话说诱导群代数$L^1(G)$的表示。

讨论：

• 对于正则表示，$L^1\cap L^2$态和算子一一对应，和算子态对应的关系是什么。
• 在第三章讨论对群表示求导得到代数表示中的微妙。
• 第五节回顾紧群理论，例如Peter-Weyl定理。
• 两个无穷维表示的拓扑张量积问题，nuclear空间。

2 Reps of Small Groups

我们用物理约定，和Knapp的符号差一点，

$$ %%[\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\]%% \begin{align} z'&=\r(z)=\frac{az+b}{cz+d}\\z&=-\frac{dz-b}{cz-a}\\ \pdv{z'}{z}&=(cz+d)^{-2}\\ \D&=h+\hbar=1+is\\ \D^S &=2-\D=1-is\\ J&=|h-\hbar|\in\frac{1}{2}\Z\\ J^S&=-J\\ \hat{f}(p)&=\int f(x) e^{-ipx} \end{align}$$

S for shadow, D for dimension and J for spin.

Unitary Irreps of $SL(2,\C)$

（幺正）主列表示$\r_{\D,J}$作用在$\H=L^2(\C)$上，

$$ \begin{align} \r\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}f(z,\zbar)&=(\pdv{z'}{z})^h (\pdv{\zbar'}{\zbar})^{\hbar}f(z',\zbar')\\ &=(cz+d)^{-2h}(\bar{c}\zbar+\bar{d})^{-2\hbar}f(z',\zbar')\\ &=|cz+d|^{-2-2is}\arg^{2J}(cz+d)f(z',\zbar') \end{align}$$

$J$的取值保证单值性，遵循物理中primary算子的变换关系，但需要把量纲延拓到主列上。在单位元附近的连续性可用控制收敛定理看出。这里也可以用共形紧化提升到线性作用。

对于$SO(3,1)\cong PSL(2,\C)=SL(2,\C)\backslash \set{\pm 1}$，单值性限制自旋为整数。

主列表示的幺正性：定义内积为，

\[(f,g)=\int f g^{*}\]

$\D$的实部贡献和Jacobian相消，因此是不变内积。

讨论：

1. 补充列表示的内积需要另行定义。$SL(2,\C)$没有离散列；
2. 物理中Hilbert空间的幺正性（以及给出的幺正下界）对应Lorentzian共形群的幺正性，或者说原点表示和无穷远表示配对的正定性，在这种意义下主列是非幺正的（出现在celestial CFT中）。

主列表示的不可约性：由平移，旋转和伸缩生成的上三角子群已经可以说明不可约性（这点来自于诱导表示）。下面计算和上三角子群交换的算子$A$必须为常数算子。

和平移交换$(Af)(z+a)=A(f(z+a))$在Fourier空间为，

\[\hat{Af}\]

略去

Unitary Irreps of $SL(2,\R)$

限定在$z=\zbar$上。

离散列

3 Smooth Vectors and the Universal Enveloping Algebra

定理: 对于李群$G$和实李代数$\glie$，有$U(\glie^{\C})$和$G$上左不变微分算子$D(G)$的自然同构。

讨论紧李群的有限维表示时直接求（李）导数就可以给出对应李代数的表示。对于无穷维表示首先就遇到无界算子定义域的问题，例如考虑幺正表示的时候，回忆Stone定理，单参数幺正子群$e^{t A}$和反自伴算子$A$一一对应，考虑$A$的多项式时需要进一步缩小定义域。为此对于表示$\H$定义光滑矢量$v\in\H$要满足，

\[g\to \r(g)v\]

对于$g\in G$是光滑的。光滑矢量空间记为$C^{\infty}(\r)$。

由此可定义$\r$诱导的$U(\glie^{\C})$的表示，

\[\r(X)v=\lim_{t\to 0}\frac{\r(e^{t X})v-v}{t}\]

为了看到$C^{\infty}(\r)$在$\H$中是稠密的，我们可以考虑Garding子空间，定义为$\r(f)v$张成的空间。